4/10.极限的变化率·导数
这是合宿的第二天下午，这次去山上打猎的是铍、酰、络三人。本来他们还要拉上矽，只不过矽以疲惫为由，婉言谢绝了他们的邀请，并说有机会的话，明日说不定可以加入队伍。见到矽有所不愿，那三人只好作罢，自己上山去了。甾也没有跟去，毕竟他还要保存好魔量准备晚上的“击石表演”。而矽，他则趁没有人注意之机走进了屋后的树林里，打算继续学习数学。
在一棵桦木下，矽坐了下来，他看了看四周，这里离笾拱山庄有140cr远，四周有高过肩的灌木，不易被发现。唯一令矽胡担心的也只有向前4cr处的一条小路，那三人就是从这里上山的，如果有人从那里看到他可就不好了。于是他也很注意那边的情况。
“矽，很自信地告诉你，看到这里说明你已经学完了极限部分的内容。接下来，就是一个非常重要的部分——‘导数’。这个词在通用语里原本没有，所以我就根据它的意思翻译过来了，这里的‘导’既有‘衍生’、‘导出’的意思，也有‘导向’、‘方向’的意思。”
“‘导·数’啊，那究竟是个什么东西呢？”矽自言自语道，抬头看了看前方的笑道，没有人经过，于是他又低头看起信。
“我们可以从两个问题中引出‘导数’这个概念，不知这两个问题你有没有思考过。一是瞬时速度问题，二是曲线的切线斜率问题。”
“嗯……这两个东西的确变化奇特，令人无法捉摸。”
“那么，首先我们研究瞬时速度。我们假设存在一个做直线运动的质点，运动的规律为s=s(t)。（t为时间，s为位移）若t0为某一个确定的时刻，t为靠近t0的一个时刻，那么该质点在[tt0]上的平均速度为
。若我们把 t→t0，那么
就是质点在t0刻的瞬时速度，当然，前提是这个极限存在。”“噢，要用上极限的知识！”矽想到，又抬头瞥眼前方的小路，依然没有人，他放心地低下头看信。
“而我们的第二个问题就是切线斜率。如图，
我们设曲线上一点P(x0y0)，过它作曲线y=f(x)的切线l，接下来我们求其斜率。在P的左右两侧分别取点Q2Q1，由此我们可以知道割线Q2PQ1P的斜率。而且我们可以发现，当 Q2Q1越接近点P时，割线Q2PQ1P的斜率越来越趋同于l的斜率。然后我们进行代数化，割线Q1P(Q2P)的斜率为
。当 x1x2→x0时，若k的极限存在，则极限
即为l的斜率。”“这么统一的式子……”
“从以上两个——一个是运动学问题，一个是几何问题，他们都可以归结为形式相同的极限，于是我们就可以给出‘导数’的定义了。”
“导数的定义是……”
“设函数y=f(x)在点x0的某领域内有定义，若极限
存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f′(x0)。”“若我们令x=x0+ΔxΔy= f(x0+Δx)-f(x0)那么上面的式子就可以改写成
，因此可以说导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 之比的极限。（这个式子我们以后又用
表示，你从这里就可以看出符号之间的关系了）而这个增量之比称为函数关于自变量的平均变化率（又称‘差商’），而导数f′(x0)则为f在x0处关于x的变化率。当然，对于这个极限不存在时，我们称f在x0处不可导。”看见这一段，又一个全新的概念潮水般涌入了他的脑海，略微的满足感，他深呼吸一口，不自觉瞄了眼小道，无人，接着看起了页尾的一道导数题。
“求f(x)=x2在x=3处的导数，这个问题很简单，我就不加解释了……”
“求 f′(3)。”矽回看了一下导数的定义，“
。”“答案是6，”矽翻过页去，看见了答案，“这么简单的概念，你应当立刻就领悟了吧……”
“……那么我们继续加大难度，求：f(x)=sin(x)x=π/4时的切线。”
“
”矽想到，“不能用多项式运算进行计算，那就用三角恒等变换（和差化积），就变为
。刚才求 f′(3)时最后之所以能求出极限，那是因为分子和分母中的式子约去了，可是这里……”矽又一次进入了思考的困境，该如何把分母中的Δx约去成为了首要问题。他开始向前向后翻动信纸，渴望找到一些解决问题的线索。此时，前几页上的一个式子让他把这道题联系了起来。
“对呀，上节课学过的东西，我怎么能忘记呢？”矽豁然开朗，他正是看见了那个“lim(x→0)sin(x)/x=1”的式子。
“那么，式子中的
就等价于1/2，根据函数极限的四则运算，原式就等价于
。则切线为
，解出来了。”矽露出了欣慰的微笑，确定了正确的答案。而那股魔量放出的感觉也如期而至，不过这一瞬间，冲荡他脑海的魔量似乎发挥了“极限”以外的作用，他感到自己的意识显得恍惚，而变的风声忽变得响亮起来……忽然，一阵急促的呼吸声和脚步声从前方4cr处传来，这被他敏锐地捕捉到了。不过此时，矽才发觉自己忘记了注意前方的小道，他连忙把信一股脑踹进了怀里。透过灌丛，前方的小路上跑过了一个熟悉的身影，是络。
看见络的行为和神态，原本从紧张的状态下有些放松的矽一下子又紧张了起来。他注意到，络的脸上充满了匆忙与紧张，其中还夹杂着一丝惊恐。
“发生什么事了。”矽想到，起身，飞快地整理好信纸，一边向笾拱山庄跑去，此时心中已经对发生了什么有了数种猜想。
当矽正跑出林子，踏入笾拱山庄旁的空地上时，他听见了络对涸大声呼救的声音：
“涸！铍和酰他们两个……在山上……岩窟那边……被…被……”
后面的话矽没有听见，似乎洛已经跑到了涸的身旁，没有力气大喊了。
“……在山上？”涸很是吃惊，但不改其镇定的本色，他用手拍拍络的肩，问道，“发生什么了，说清楚，我们马上去处理。”说着，涸又回头对着山庄那边喊道：“甾，矽！你们两个过来。”
矽正好从树丛中钻出，跑到了涸的身边，甾也慌张地从山庄里推门而出，一边叫着：“怎么了？”
等到四个人站在了一起，络开始了讲述，而涸的喊声也引来了其他学生的围观，他们都紧张而略带好奇地听着。
“下午，我们上山，走到半路时，酰发现了一个洞口……”
“……”
听完络的话，学生们议论开了，说着是去救那两人或者寻求支援，现场洋溢着不安与紧张的气氛……
“安静一下。”见之，涸严肃地说。在这潜在的危机到来的情况下，他体现出自己的魄力，让学生们镇定下来，以此进行安排，为解决这件突如其来的麻烦。
“矽，甾，我们三个跟着络过去，”涸说，“剩下的同学，你们都暂时先呆在屋里，不要出来。”
听见涸如此严肃的命令，学生们立马从行动上紧张了起来，烯把其他同学都安排回山庄。而矽和甾，跟着涸，在络的带领下，沿着山路，走向络口中的那个石窟。
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